با ذهن تان به سرعت محاسبه کنيد!

در اين مقاله به ارائه روش هاي محاسباتي پرداخته شده که براي انجام عمليات جبري و محاسباتي کاربرد وسيعي دارند. از آنجا که روش هاي ذکر شده در اين مقاله پر تعداد هستند پيشنهاد مي شود ابتدا يک روش آن را طي چند روز به کار گيريد تا اين روش در حافظه ثبت شود و در ضمير ناخودآگاه قرار گيرد و سپس به سراغ روش هاي ديگر برود.
بسياري از ما با ساده کردن عبارت هاي جبري آشنايي داريم و از اين روش ها به وفور استفاده مي کنيم، اما اغلب هيچ کوششي براي آسان کردن محاسبه هاي عددي نمي کنيم و به صورت کاملاً خطي با آنها مواجه مي شويم و به همان صورتي که به ما ارائه مي شود آنها را حل مي کنيم. قدم نخست در تسهيل و تسريع محاسبه ها، تبديل آنها به محاسباتي ساده تر است. مثلاً، هر چند ضرب يا تقسيم يک عدد بر 4 بسيار ساده است و اغلب ما قادر هستيم اين عمل را در ذهن انجام دهيم، اما از آن ساده تر اين است که همان عدد را دوبار در 2 ضرب يا تقسيم کنيم، همين کار را براي عدد 8 نيز مي توانيم انجام دهيم. يعني سه بار در 2 ضرب يا تقسيم کنيم. اما اين کار براي عدد 16 مناسب نيست زيرا نگه داشتن حساب چهار بار تقسيم و ضرب در عدد 2 ممکن است خود سبب اشتباه شود. البته براي اين محاسبه هم روش هايي هست که در جاي خود به آن مي پردازيم.
براي ضرب 4 دو بار در 2 ضرب کن:
136 =2×68 =2×2×34=4×34
براي تقسيم بر 4 دو بار بر 2 تقسيم کن:
18 =2÷36 =3÷2÷72 =4÷72
براي ضرب در 8 سه بار در 2 ضرب کن:
128 =2×64 =2×2×32 =2×2×2×16 =8×16
براي تقسيم بر 8 سه بار بر 2 تقسيم کن:
13 =2÷26 =2÷2÷52 =2÷2÷2÷104 =8÷104
آن چه در اينجا بايد تذکر دهم اين است که اين دستور و ساير دستورها براي ساده کردن محاسبه ها است و اگر در جايي احساس کرديد محاسبه قدري برايتان دشوار است، بهتر خواهد بود که از روش هاي ديگري که برايتان خواهم گفت استفاده کنيد تا سرعت محاسبه شما به اندازه کافي بالا برود. حال محاسبه هاي زير را انجام دهيد.
؟ =4×79
؟ =8×32
؟ =4×67
؟ =4×34
؟ =4×44
؟ =69×4

داستان 5
 

اولين مطلب، ضرب عددهاي مختلف در عدد 5 است. فرض کنيد مي خواهيد عدد 688 را در 5 ضرب کنيد البته اين عمل را شما به آساني (يا به سختي!) در ذهن انجام مي دهيد. اما براي اين عمل راه ساده تري هم وجود دارد (البته اگر بپذيريم که عمليات با عددهاي کوچک تر ساده تر از عددهاي بزرگ تر است) و آن اين است که بياييم عدد 688 را بر 2 تقسيم و يا به عبارتي نصف کنيم، سپس صفري در مقابل قرار دهيم يعني:
3440 ={0}2÷688 =5×688
در اين جا عدد 688 را بر 2 تقسيم کرديم و يک صفر در مقابل آن قرار داديم. به همين راحتي! اين دستور به خصوص در مورد عددهاي زوج کارايي بيشتري دارد زيرا شما خيلي راحت قادريد نصف هر عدد زوجي را بگوييد.
بنابراين:

براي ضرب هر عددي در 5، عدد را بر 2 تقسيم کن و يک صفر مقابل آن بگذار.
 

آن چه در اين جا بايد بگويم اين است که وقتي عددهاي فرد را نصف مي کنيم، عدد به دست آمده يک رقم به اعشار مي رود. بنابراين از گذاشتن صفر و مميزي اعشار در اين گونه عددها خودداري مي کنيم. مثلاً فرض کنيد عدد 27 را در 5 ضرب کنيم، در اين حالت نصف 27 عدد 13/5 مي شود که بايد از مميز و صفر صرف نظر کرده و عدد 135 را به عنوان جواب بنويسيم. حال نوبت شماست که چند نمونه را به صورت ذهني حل کنيد:
؟ =5×257
؟ =5×462
؟ =5×888
؟ =5×144
؟= 5×48
حال فرض کنيد مي خواهيد 212 را بر 5 تقسيم کنيد با توجه به آن چه گفته شد حدس مي زنيد چه بايد کرد بله درست حدس زديد اين بار اين عدد را در 2 ضرب کنيم و يک رقم به اعشار برويم يعني:
42/4={/}2×212 =5÷212
بنابراين:

براي تقسيم هر عدد بر 5 آن عدد را 2 ضرب کن و يک رقم به اعشار برو.
 

سعي کنيد تمرين هاي زير را به روش گفته شده انجام دهيد:
؟ =5÷237
؟ =5÷412
؟ =5÷93
؟ =5÷436
؟ =5÷132

ضرب و تقسيم عددها در 25
 

حال که داريم راجع به 5 صحبت مي کنيم، بايد دستوري که در مورد 25 وجود دارد را نيز در اينجا بگوييم؛ چون يکان 25، عدد 5 است و بي ارتباط با داستان 5 نيست. اين دستور هر چند خيلي ساده است، اما کارايي زيادي دارد، زيرا اين عدد درصد بسياري از کالاها را نشان مي دهد و مي تواند براي کساني که با آن سر و کار دارند خيلي مفيد واقع شود. در ضمن با يک نگاه اجمالي به مسائل مي بينيد که اين عدد کاربرد فراواني دارد.
حال فرض کنيد به عنوان مثال مي خواهيد عدد 444 را در عدد 25 ضرب کنيد براي اين کار کافي است اين عدد را بر 4 تقسيم کنيد و دو صفر مقابل آن بگذاريد يعني:
111000={00}4÷444+25×444
براي عددهايي که مي بينيد تقسيم بر 4 قدري زمان بر است و نياز به فکر دارد، دو بار عدد مورد نظر را بر 2 تقسيم کنيد. مثلاً 375 را اگر بخواهيم در 25 ضرب کنيم، ابتدا يک بار بر 2 تقسيم کنيد و عدد 187/5 را به دست آوريد و سپس يک بار ديگر اين عدد را نصف کرده و به عدد 93/75 مي رسيم و چون دو رقم به اعشار رفته ايم هم از مميزها و هم از دو صفر صرف نظر کرده و جواب 9375 خواهد شد.
بنابراين:

براي ضرب در 25 دو بار بر 2 تقسيم کن و دو صفر مقابلش بگذار.
 

حال تمرين هاي بعد را براي تسلط بيشتر انجام دهيد:
؟ =25×18
؟ =25×47
؟ =25×25
؟ =25×24
؟ =25×88
حال برويم به سراغ تقسيم اعداد بر 25:

براي تقسيم بر 25 دو بار در 2 ضرب کن و دو رقم به اعشار برو.
 

مثلاً اگر بخواهيم عدد 19 را بر 25 تقسيم کنيم دو بار بايد 19 را در 2 ضرب کنيم که در بار اول مي شود 38 و بار دوم 76 و سرانجام دو رقم بايد به اعشار برويم که جواب نهايي ما 0/76 خواهد شد.
حالا نوبت شماست که تمرين کنيد:
؟ =25÷71
؟ =25÷53
؟ =25÷23
؟ =25÷92
؟ =25÷14
؟ =25÷17
حال که بحث به اين جا کشيده شده، بد نيست بدانيد عين همين مرحله ها را در مورد عدد 125 نيز با تغييرات جزيي مي توان انجام داد. ترتيب کار به اين صورت است که مثلاً بخواهيم عدد 48 را در عدد 125 ضرب کنيم کافي است که اين عدد را بر 8 تقسيم کنيم و سه صفر مقابل آن بگذاريم که عدد 6000 پاسخ اين ضرب خواهد شد يعني:
6000 ={000} 6 ={000} 8÷48 =125×48
پس دستور کلي ما چنين خواهد بود:

براي ضرب در 125 سه بار بر 2 تقسيم کن و سه صفر مقابل آن بگذار.
 

براي تقسيم عددي مثل 11 بر عدد 125 بايد اين عدد را در 8 ضرب کنيم (يا سه بار در 2 ضرب کنيم) و سپس رقم به اعشار برويم که حاصل آن 88 است.
پس:

براي تقسيم بر 125 سه بار در 2 ضرب کن و سه رقم به اعشار برو.
 

حال تمرين هاي زير را انجام دهيد:
؟ =125÷7
؟ =125×56
؟ =125÷36
؟ =125×32

مجذور کردن عددهايي که يکان آنها 5 است
 

در اينجا مي خواهيم روش مجذور کردن عددهايي مثل 25 يا 75 يا 115 که رقم يکان آنها عدد 5 است را توضيح دهيم. اين کار ساده تر از آن است که فکرش را مي کنيد. مثلاً به عدد 25 توجه کنيد. چنان چه مي بينيم عدد بعد از يکان آن 2 است، اگر اين عدد را در اولين عدد صحيح بعد از خودش يعني 3 ضرب کنيد و عدد 25 را سمت راست عدد به دست آمده بگذاريد عدد 625 مي شود و اين عدد مجذور عدد 25 خواهد بود. با توجه به آن چه گفته شد، مجذور 75 را هم مي توان به سادگي به دست آورد. عدد بعد از يکان در اين جا 7 است که در عدد ما بعد خود يعني 8 ضرب مي شود و زماني که عدد 25 را کنار اين حاصل ضرب بگذاريم، عدد 5625 را خواهيم داشت که مجذور 75 است. اگر عدد مورد نظر ما عددي سه رقمي مثل 115 بود باز هم مي توان از اين روش استفاده کرد. يعني 11 را که عدد بعد از رقم يکان است در عدد ما بعد خود يعني 12 ضرب مي کنيم و 25 را سمت راست اين حاصل ضرب مي نويسيم که 13225 خواهد شد. البته ضرب سريع 11 در عددهاي مختلف را هم بعداً در جاي خودش برايتان خواهم گفت.

مجذور کردن عددهايي که دهگان آنها 5 است
 

فرض کنيد مي خواهيد عدد 57 را به توان 2 برسانيد. در اين حالت مجذور يکان يعني عدد 7 را که به دست آورديم، يکان و دهگان جواب خواهد شد که در اين جا 49 مي شود از اين مرحله عدد 25 را با يکان عدد مورد بحث که در اين جا همان 7 است، جمع مي کنيم و عددي که به دست مي آوريم را به عنوان صدگان و هزارگان جواب قرار مي دهيم. (يعني 32+25+7) و در نتيجه جواب نهايي 3249 خواهد شد.
در اينجا بد نيست مطلبي را تذکر دهم. همان طور که مي دانيد، مجذور 50 عدد 2500 است. بنابراين هيچ عدد دو رقمي که دهگان آن 5 باشد وجود ندارد که کوچک تر از اين عدد باشد پس وقتي در مورد عددي مثل 52 يکان را به توان 2 رسانديم حاصل را که عدد 4 است به صورت 04 نوشته و در جاي يکان و دهگان مي نويسيم و بقيه کارها را به همان ترتيب انجام دهيم يعني:
2704+22 بتوان 2+25 =52 بتوان 2
2704+52 بتوان 2
اين روش را هم با قدري تأمل مي توانيد براي عددهاي سه رقمي به کار ببريد.

ضرب عددهاي مختلف در عدد 15
 

عدد مورد نظر را با نصف خودش جمع کن و صفري سمت راستش بگذار.
فرض کنيد مي خواهيد عدد 34 را در 15 ضرب کنيد. اگر نصف 34 را که 17 مي شود با 34 جمع کنيد 51 خواهد شد و اگر صفري سمت راست آن بگذاريد 510 مي شود که حاصل ضرب 15 در 34 است اگر عددي که در 15 ضرب مي شود فرد باشد مثل عدد 23 نصف آن يعني 11/5 را با خودش جمع کرديم يعني 34/5 =11/5+23 از مميز حاصل جمع صرف نظر کرده و صفري هم مقابل آن نمي گذاريم. بنابراين پاسخ در اينجا 345 مي شود. حال شما با اين روش ضرب هاي زير را انجام دهيد:
؟ =33×15
؟ =48×15
؟ =56×15
؟ =88×15

ضرب عددهاي مختلف در عدد 75
 

دو بار بر دو تقسيم کن، در 3 ضرب کن و دو صفر سمت راستش بگذار.
 

فرض کنيد مي خواهيم 16 را در 75 ضرب کنيم. اگر 16 را دو بار بر 2 تقسيم کنيم 4 خواهد شد و اگر 4 را در 3 ضرب کنيم 12 مي شود و سرانجام اگر دو صفر سمت راست 12 بگذاريم. حاصل ضرب را که عدد 1200 خواهد شد به دست آورده ايم. در اينجا هم در مورد عددهاي فرد که به اعشار مي رويم، به تعداد رقم هاي اعشاري از صفرها کم مي کنيم. مثلاً اگر عدد 13 در 75 ضرب شود، وقتي 13 را دو بار بر 2 تقسيم کنيم 3/25 خواهد شد و پس از آن که اين عدد در 3 ضرب شد به عدد 9/75 مي رسيم و با اعمال صفرها و مميزها عدد 975 را که جواب است، به دست آورده ايم.
سعي کنيد براي تسلط بيشتر بر موضوع، تمرين هاي زير را حل کنيد:
؟ =52×75
؟ =44×75
؟ =13×75
؟ =28×75

امتحان عمل ضرب
 

آن چه در اينجا مي خواهم براي شما بگويم، يک نوع امتحان عمل ضرب است که اگر در عمل ضرب اشتباه فاحش نباشد، آن را به خوبي نشان خواهد داد. در عين حال هم بسيار ساده است. روش کار به صورت زير است:
فرض کنيد مي خواهيم درستي ضرب 220= 25×89 را بررسي کنيم.
ابتدا رقم هاي هر يک از عامل هاي ضرب را با هم جمع مي کنيم.
7 =5+2 و 16 =8+8
اگر عددهاي به دست آمده دو رقمي شد باز هم رقم هايشان را با هم جمع مي کنيم تا به عددي يک رقمي برسيم يعني: 7 =6+1: 16
حالا عددهاي يک رقمي به دست آمده را در هم ضرب مي کنيم 49=7×7. اگر حاصل جمع رقم هاي اين حاصل ضرب با جمع رقم هاي جواب مورد بررسي يکسان شود، نشان دهنده آن است که ضرب را درست انجام داده ايم و در صورت مغايرت، نشان دهنده نادرست بودن حاصل ضرب است. يعني:
4 =0+2+2: 220
4 =3+1: 13 =4+9: 49
چنان چه مشاهده مي شود، دو عدد به دست آمده يکي شدند؛ پس ضرب را درست انجام داده ايم. نکته اي که سبب بالا رفتن بيشتر سرعت در اين روش امتحان ضرب وجود دارد، اين است که وقتي در جمع کردن عددها به عدد 9 مي رسيم مي توانيم به جاي آن عدد صفر را قرار دهيم. مثلاً در همين مثال اخير وقتي به عدد 49 رسيديم مي توانستيم به جاي جمع کردن 4 و 9 عدد 4 را با صفر جمع کنيم که در هر صورت نتيجه يکي مي شد.
اما بايد بگويم که اين روش امتحان، نقصي هم دارد و آن اين است که اشتباهات فاحش را نشان نمي دهد. مثلاً اگر ما جواب را 22، 4، و يا 490 هم به دست آورديم فرقي نمي کرد و در ظاهر اين محاسبه ما صحيح نشان داده مي شد، ولي از آن جا که معمولاً اشتباهاتي به اين بزرگي را مرتکب نمي شويم، اين روش مي تواند کارايي نسبتاً خوبي داشته باشد.
و بايد اين نکته را هم مذکر شوم که تنها نگراني ما در خصوص تعداد صفرهاي حاصل ضرب بايد باشد که اشتباه فاحش اما رايجي است که در اين روش، اشتباه مذکور آشکار نخواهد شد.

ضرب در عدد 11 و ...
 

در ادامه مقاله به ضرب عددها در 11 و ... مي پردازيم فرض کنيد عدد 342 را مي خواهيم در عدد 11 ضرب کنيم براي اين کار ابتدا صفري در هر طرف اين عدد قرار مي دهيم به اين صورت (03420)، سپس هر رقم را با رقم سمت راستش جمع مي کنيم تا حاصل ضرب به دست آيد.(به همين سادگي).
3762 =11×03420
سؤالي که در اين جا مطرح مي شود اين است که اگر حاصل جمع ها عددي دو رقمي شود چه وضعيتي پيش مي آيد؟ پاسخ بسيار ساده است؛ رقم دهگان را به جمع بعدي اضافه مي کنيم.
ضرب در عددهاي 12 و 13 و ... 19 با کمي تفاوت بسيار شبيه آن چيزي است که در مورد 11 گفته شد. مثلاً در مورد 12 پس از آن که صفرها را در دو طرف عدد گذاشتيم، هر رقم را 2 برابر کرده با عدد سمت راست خود جمع مي کنيم و يا در مورد عدد 13، ابتدا رقم ها را 3 برابر مي کنيم و سپس با عدد سمت راست جمع مي زنيم و به همين ترتيب به يکان 14 و 15 و ... و 19 توجه کرده رقم ها را 4 و 5 و ... و 9 برابر کرده با عدد سمت راست خود جمع مي کنيم.
بهتر است از اين شيوه در مورد عددهاي زير 15 استفاده شود چون نگه داشتن ذهني عددهاي بزرگ تر قدري دشوار است و از سرعت محاسبه شما مي کاهد. حالا ضرب هاي زير را انجام دهيد.
؟ =12×64
؟ =12×34
؟ =14×11

ضرب در عدد 9
 

اول از چيزي که همه خوب مي دانيم شروع مي کنيم مثلاً در ضرب 54= 6×9. اگر کمي دقت کنيد، متوجه مي شويد دهگان حاصل ضرب يعني 5 يک واحد از عدد 6 کمتر است و يکان آن حاصل تفاضل عدد 9 و 5 است. اگر به همه عددهاي يک رقمي که در 9 ضرب مي شوند دقت کنيد، متوجه مي شويد که اين قاعده همچنان برقرار است. حتماً با خود مي گوييد که حفظ کردن اين دستور براي چيزي که بلد هستيم عاقلانه نيست، ولي شايد اگر بدانيد اين دستور شامل عددهاي چند رقمي هم مي شود تجديدنظر کنيد. مثلاً اگر عددي دو رقمي مثل 68 و 99 (توجه داشته باشيد که تعداد رقم هاي هر دو عدد يکسان باشد) ضرب شود، دو رقم سمت چپ جواب يک واحد از 68 کمتر مي شود که 67 خواهد شد و دو رقم سمت راست حاصل تفاضل 67 از عدد 99 است که عدد 32 مي شود يعني در واقع حاصل ضرب 67 در 99 عدد 6732 خواهد شد. براي عددهاي سه رقمي سمت راست را از عدد 999 کم مي کنيم و رقم هاي سمت چپ پاسخ همواره يک واحد کمتر از عدد اصلي هستند.

تقسيم بر عدد 9 و ...
 

آن چه در مورد ضرب گفتيم به شکلي ساده تر در مورد تقسيم نيز وجود دارد.
اگر عددي يک رقمي را بر 9 تقسيم کنيم ديده مي شود در قسمت جوان آن عدد به شکل متناوب بعد از مميز تکرار مي شود اين موضوع در مورد عددهاي چند رقمي هم صدق مي کند، مشروط بر اين که تعداد رقم هاي مقسوم و مقسوم عليه يکسان باشد.
مثلاً: 0/639639639 =999÷639
و حالا سعي کنيد مثال هاي زير را به روش گفته شده در بالا حل کنيد
؟ =9999÷1739
؟ =99÷78
؟ =999÷546

ضرب يک هاي متوالي
 

الف)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان باشد:
 

براي ضرب دو عدد که از يک هاي متوالي تشکيل شده و تعداد رقم هايشان يکسان باشد از عدد يک شروع به نوشتن کرده به تعداد رقم هاي بالا مي رويم وقتي به بالاترين رقم رسيديم، شمارش را معکوس مي کنيم تا به يک برسيم. مثلاً فرض کنيد عدد 111 را مي خواهيد در عدد 111 ضرب کنيم. چون سه رقم دارند، شمارش به سمت بالا تا عدد 3 ادامه پيدا مي کند و سپس به سمت عدد 1 معکوس مي شوند يعني حاصلضرب عدد 12321 خواهد بود يا اگر هر دو عدد چهار رقمي باشند يعني 1111 پاسخ حاصل ضرب تا عدد 4 بالا رفته سپس معکوس مي شود يعني پاسخ عدد 1234321 خواهد بود.

ب)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان نيست:
 

در اين حالت شمارش به سمت بالا تا تعداد رقم هاي عدد کوچک تر پيش مي رود و در آنجا تا تعداد رقم هاي عدد بزرگ تر، بالاترين عدد تکرار مي شود و سپس به سمت عدد يک معکوس مي شود.
مثلاً فرض کنيد دو عدد 11 و 111 را مي خواهيد در هم ضرب کنيد در اين حالت عدد کوچک تر دو رقمي است پس شمارش به سمت بالا تا عدد 2 پيش مي رود يعني تا اين جا دو رقم سمت چپ جواب ما 12 است با توجه به اين که عدد بزرگ تر ما سه رقمي است، رقم 2 يک بار ديگر نوشته مي شود تا رقم هاي سمت چپ پاسخ ما با تعداد رقم هاي عدد بزرگ تر يکي شود.
[يعني رقم هاي سمت چپ جواب تا اين جا 122 مي شود] و بعد از اين مرحله شمارش معکوس به سمت 1را شروع مي کنيم و در نهايت کل رقم هاي جواب يعني 1221 را خواهيم داشت با توجه به آن چه گفته شد مثال هاي زير را حل کنيد.
؟ =11111×1111
؟ =1111×111
؟ =11111×11

ضرب دو عدد به وسيله ميانگين آنها
 

مجذور نصف تفاضل دو عدد را از مجذور ميانگين آنها کم کن.
 

مثلاً فرض کنيد دو عدد 19 و 21 را مي خواهيم به اين شيوه در هم ضرب کنيم.
همان طور که مي دانيد، ميانگين اين دو عدد 20 است؛ و مجذور عدد اخير 400. حالا تفاضل اين دو عدد را که عدد 2 مي شود نصف کرده به توان 2 مي رسانيم و از 400 کم مي کنيم و به عدد 399 که حاصل ضرب نهايي است مي رسيم.
هر چند اين دستور براي همه عددها قابليت اجرا دارد، اما در محاسبات سريع ما از اين دستور در دو زمان استفاده مي کنيم:
الف)زماني که ميانگين دو عدد، عددي مي شود که رقم هاي سمت راست آن صفر باشد (مانند مثال اخير).
ب)زماني که مجذور ميانگين دو عدد را به طريقي بدانيم (مانند روش هاي ارائه شده در مورد عددهايي مثل 35، 52 و ...). دستوري که گفته شد در ابتدا قدري به نظر دشوار است، اما اگر چند عدد را به اين شيوه در هم ضرب کنيد متوجه مي شويد که استفاده از آن چندان سخت نيست و کاربرد آن نيز طيف وسيعي از عددها را در بر مي گيرد.
حال تمرين هاي زير را انجام دهيد.
؟ =15×25
؟ =17×13
؟ =18×22
؟ =24×16

در انتها، مروري کلي داريم بر مطالب اين مقاله:
 

ــ براي ضرب در 4 دو بار در 2 ضرب کن.
ــ براي تقسيم بر 4 دو بار بر 2 تقسيم کن.
ــ براي ضرب در 8 سه بار بر 2 ضرب کن.
ــ براي تقسيم در 8 سه بار بر 2 تقسيم کن.
ــ براي ضرب هر عددي در 5، عدد را بر 2 تقسيم کن و يک صفر مقابل آن بگذار.
ــ براي تقسيم هر عدد بر 5 آن عدد را در 2 ضرب کن و يک رقم به اعشار برو.
ــ براي ضرب در 25 دو بار بر 2 تقسيم کن و دو صفر مقابلش بگذار.
ــ براي تقسيم بر 25 دو بار در 2 ضرب کن و دو رقم به اعشار برو.
ــ براي ضرب در 125 سه بار بر 2 تقسيم کن و سه صفر مقابل آن بگذار.
ــ براي تقسيم بر 125 سه بار در 2 ضرب کن و سه رقم به اعشار برو.
ــ براي ضرب در 15 با نصف خودش جمع کن و صفري سمت راستش بگذار.
ــ براي ضرب در 75 دو بار بر 2 تقسيم کن و در 3 ضرب کن و دو صفر سمت راستش بگذار.
ــ براي ضرب در 11 دو طرف عدد، صفر بگذار، هر رقم را با سمت راستش جمع کن.
براي ضرب از طريق ميانگين، مجذور نصف تفاضل دو عدد را از مجذور ميانگين آنها کم کن.
منبع: دانشمند، شماره 576